Théorie de Lie, Épisode II : la symphonie des sphères

Deuxième volet d'une trilogie centrée principalement sur la théorie de Lie, mais au cours de laquelle on pourra voir tout un tas de choses en algèbre, en géométrie, en combinatoire et en physique. Le plan général pour cette trilogie est :
- Épisode I : Des racines et des poids  ( Théorie de Lie, Épisode I : des racin... )
- Épisode II : La symphonie des sphères ( Théorie de Lie, Épisode II : la symph... )
- Épisode III : Les diagrammes enfouis ( Théorie de Lie, Épisode III : les dia... )

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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee

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Plan

Introduction
00:00 Début, présentation

08:45 Notion de groupe de Lie et pourquoi c'est important
15:10 Définition formelle et premiers exemples
33:06 Généralités sur les sphères (réelles)

S^0
35:10 La sphère de dimension 0

S^1
39:35 La sphère de dimension 1, rotations et réflexions
45:25 Groupe spécial orthogonal SO(n)
52:26 L'exponentielle transforme les sommes en produits, algèbre de Lie
1:01:50 L'exponentielle ne transforme PAS les sommes en produits
1:12:10 Formule de Baker Campbell Hausdorff

S^2
1:18:40 La sphère de dimension 2 et SO(3)
1:24:20 Algèbre de Lie so(3)=su(2)
1:35:10 Diagramme des racines et représentations
1:43:30 Sphères réelles, complexes et quaternioniques
1:49:50 Le lien entre SO(3) et SU(2)
1:59:00 Description explicite du double recouvrement
2:07:40 Spineurs
2:15:45 La danse du spin et le groupe fondamental
2:22:20 SU(2) comme sphère, plan projectif réel

S^3
2:29:00 La sphère de dimension 3 et SO(4) et son algèbre
2:34:40 Diagramme des racines et décomposition
2:39:15 Réalisation avec les quaternions
2:50:50 Groupes orthogonal, unitaire, symplectique et leurs dimensions

S^4
2:59:40 La sphère de dimension 4, SO(5) et son algèbre
3:03:30 Diagramme des racine, algèbre non simplement lacée

S^5
3:12:40 La sphère de dimension 5, et SO(6)
3:18:25 Conclusion
3:31:45 Références

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Références :

Fulton et Harris, Representation Theory.
Knapp, Lie Groups, Beyond an introduction