Substitutionsverfahren - Funktionen || Oberstufe ★ Übung 1
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9 سال پیش
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Man bezeichnet Funktionen des Typs f(x)=ax^4+bx²+c als bi-quadratische Funktionen vierten Grades. Natürlich gibt es auch bi-quadratische Funktionen sechsten, achten, zehnten und höheren Grades, aber entscheidend ist bei allen diesen Funktionen, dass die Exponenten nur gerade Zahlen wie 2, 4, 6, 8, usw. annehmen dürfen und der eine Exponent die Hälfte des anderen Exponenten darstellt: siehe oben 4 und 2. Das Substitutionsverfahren findet die Nullstellen dieser Funktionen.
Beim Substitutionsverfahren tauscht man das x mit dem höchsten Exponenten gegen ein z2 und das x mit dem niedrigeren Exponenten gegen ein z aus: x4 = z2 und x2 = z. Jetzt kann man die p-q-Formel für z_1,2 anwenden und am Ende wird resubstituiert zu x_1,2,3,4.
Berechne die Nullstellen der Funktion f(x)=3x^4-12x²+9 mit Hilfe des Substitutionsverfahrens.
1. Schritt: Prüfen, ob man ein x ausklammern kann oder ob es sich um eine lineare bzw. quadratische Funktion handelt. Das ist hier alles nicht der Fall. Somit gehen hier kein Ausklammern, kein Freistellen und keine Anwendung der p-q-Formel. Außerdem fehlt uns ein Glied mit dem x2 und ein Glied mit dem x1, daher klappt auch die Polynomdivision nicht so gut.
2. Schritt: Substitution
z=x²
⇒ 3z^2-12z+9=0 | : 3
⟺ z^2-4z+3=0 p = -4 und q = 3
mit z_(1/2)=-p/2±√((p/2)^2-q)
ergibt sich z_1=1 und z_2=3
3. Schritt: Resubstitution
Im zweiten Schritt haben wir definiert, dass z=x².
Also ist z_1=1=x_(1/2)^2 ⇒ x_1=+1 und x_2=-1
und z_2=3=x_(3/4)^2 ⇒ x_3=+√3 und x_4=-√3
Trainer: „Denk an die Resubstitution, diese wird besonders in Klassenarbeiten in der Eile vergessen.“
1. Erkläre das Substitutionsverfahren anhand der folgenden Gleichung Schritt für Schritt: g(x)=x^4-5x²+6.
2. Bestimme mit Hilfe des Substitutionsverfahrens die Nullstellen der Funktion f(x) mit f(x)=〖2x〗^5-26x³+72x.
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Man bezeichnet Funktionen des Typs f(x)=ax^4+bx²+c als bi-quadratische Funktionen vierten Grades. Natürlich gibt es auch bi-quadratische Funktionen sechsten, achten, zehnten und höheren Grades, aber entscheidend ist bei allen diesen Funktionen, dass die Exponenten nur gerade Zahlen wie 2, 4, 6, 8, usw. annehmen dürfen und der eine Exponent die Hälfte des anderen Exponenten darstellt: siehe oben 4 und 2. Das Substitutionsverfahren findet die Nullstellen dieser Funktionen.
Beim Substitutionsverfahren tauscht man das x mit dem höchsten Exponenten gegen ein z2 und das x mit dem niedrigeren Exponenten gegen ein z aus: x4 = z2 und x2 = z. Jetzt kann man die p-q-Formel für z_1,2 anwenden und am Ende wird resubstituiert zu x_1,2,3,4.
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1. Schritt: Prüfen, ob man ein x ausklammern kann oder ob es sich um eine lineare bzw. quadratische Funktion handelt. Das ist hier alles nicht der Fall. Somit gehen hier kein Ausklammern, kein Freistellen und keine Anwendung der p-q-Formel. Außerdem fehlt uns ein Glied mit dem x2 und ein Glied mit dem x1, daher klappt auch die Polynomdivision nicht so gut.
2. Schritt: Substitution
z=x²
⇒ 3z^2-12z+9=0 | : 3
⟺ z^2-4z+3=0 p = -4 und q = 3
mit z_(1/2)=-p/2±√((p/2)^2-q)
ergibt sich z_1=1 und z_2=3
3. Schritt: Resubstitution
Im zweiten Schritt haben wir definiert, dass z=x².
Also ist z_1=1=x_(1/2)^2 ⇒ x_1=+1 und x_2=-1
und z_2=3=x_(3/4)^2 ⇒ x_3=+√3 und x_4=-√3
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1. Erkläre das Substitutionsverfahren anhand der folgenden Gleichung Schritt für Schritt: g(x)=x^4-5x²+6.
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9 سال پیش
در تاریخ 1394/12/03 منتشر شده
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