#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера
69.7 هزار بار بازدید -
5 سال پیش
-
Доказываем теорему об окружности 9
Доказываем теорему об окружности 9 точек двумя способами! Лемма о трезубце, внешняя лемма о трезубце, ортоцентрический треугольник, прямая Эйлера — все эти факты, переплетаясь, позволяют увидеть настоящую красоту школьной геометрии!
Мои курсы: https://vk.com/market-135395111
VK: https://vk.com/wildmathing
Задачник: https://vk.com/topic-135395111_35874038
Донат: http://www.donationalerts.ru/r/wildma...
0:00 — Окружность девяти точек
6:34 — Лемма о трезубце
10:06 — Внешняя лемма о трезубце
14:42 — Ортотреугольник
17:10 — Окружность девяти точек (второе доказательство)
19:48 — Прямая Эйлера
UPD. В момент 17:58 должно быть «на биссектрисе угла HbHaE». Спасибо Дмитрию Ушакову, что обратил на это внимание!
НЕВЕРОЯТНО красивые теоремы элементарной геометрии, которые мы здесь доказали.
1. Теорема об окружности 9 точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности.
2. Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Обобщенная лемма о трезубце.. В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, точка Ib — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, отрезок IIb пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L, тогда отрезки LA, LC, LI, LIb равны.
3. Внешняя лемма о трезубце. Докажите, что точка пересечения биссектрисы внешнего угла B треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек A, C, Ia, Ic, где Ia и Ic — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающиеся сторон BC и AB соответственно.
4. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
5. Расстояние от ортоцентра до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине.
6. Прямая Эйлера. В любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой.
При этом мы опирались на стандартные факты школьного курса
7. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
8. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
9. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
10. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
11. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
12. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
13. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
14. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
15. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
16. Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,вписанной в треугольник.
17. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
18. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
19. Признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
20. Если трапеция равнобедренная, то ее можно вписать в окружность.
21. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла
22. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°
23. Центр описанной окружности многоугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
24. Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним.
25. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны, то его можно вписать в окружность.
Доказательство 25-го факта. Предположим обратное: выпуклый четырехугольник ABCD имеет равные углы ABD и ACD, но при этом не является вписанным. Опишем окружность около треугольника ABD. 1 случай. Точка C оказалась внутри окружности. Продлим луч DC (за точку C) до пересечения с окружностью, и точку пересечения назовем C'. Тогда ∠ABD=∠AC'D как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, но в то же время ∠ABD=∠ACD по дано. А это противоречие: ведь из равенства ∠ACD=∠AC'D прямые AC' и AC совпадают, то есть C=C'. 2 случай, когда точка C лежит вне окружности — аналогичен.
ДРУГИЕ РОЛИКИ с крутыми рисунками и построениями:
1. Математика мироздания (feat. Борис Трушин): #205. Формула Эйлера для плоских граф...
2. 10-часовое занятие по стереометрии: 10-часовое ЗАНЯТИЕ по стереометрии!
3. Прокачиваем стереометрию: #153. ПРОКАЧАЙ СТЕРЕОМЕТРИЮ ЗА 3 МИНУТЫ!
#Математика #Геометрия #Научпоп
Мои курсы: https://vk.com/market-135395111
VK: https://vk.com/wildmathing
Задачник: https://vk.com/topic-135395111_35874038
Донат: http://www.donationalerts.ru/r/wildma...
0:00 — Окружность девяти точек
6:34 — Лемма о трезубце
10:06 — Внешняя лемма о трезубце
14:42 — Ортотреугольник
17:10 — Окружность девяти точек (второе доказательство)
19:48 — Прямая Эйлера
UPD. В момент 17:58 должно быть «на биссектрисе угла HbHaE». Спасибо Дмитрию Ушакову, что обратил на это внимание!
НЕВЕРОЯТНО красивые теоремы элементарной геометрии, которые мы здесь доказали.
1. Теорема об окружности 9 точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности.
2. Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Обобщенная лемма о трезубце.. В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, точка Ib — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, отрезок IIb пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L, тогда отрезки LA, LC, LI, LIb равны.
3. Внешняя лемма о трезубце. Докажите, что точка пересечения биссектрисы внешнего угла B треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек A, C, Ia, Ic, где Ia и Ic — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающиеся сторон BC и AB соответственно.
4. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
5. Расстояние от ортоцентра до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине.
6. Прямая Эйлера. В любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой.
При этом мы опирались на стандартные факты школьного курса
7. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
8. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
9. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
10. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
11. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
12. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
13. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
14. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
15. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
16. Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,вписанной в треугольник.
17. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
18. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
19. Признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
20. Если трапеция равнобедренная, то ее можно вписать в окружность.
21. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла
22. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°
23. Центр описанной окружности многоугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
24. Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним.
25. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны, то его можно вписать в окружность.
Доказательство 25-го факта. Предположим обратное: выпуклый четырехугольник ABCD имеет равные углы ABD и ACD, но при этом не является вписанным. Опишем окружность около треугольника ABD. 1 случай. Точка C оказалась внутри окружности. Продлим луч DC (за точку C) до пересечения с окружностью, и точку пересечения назовем C'. Тогда ∠ABD=∠AC'D как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, но в то же время ∠ABD=∠ACD по дано. А это противоречие: ведь из равенства ∠ACD=∠AC'D прямые AC' и AC совпадают, то есть C=C'. 2 случай, когда точка C лежит вне окружности — аналогичен.
ДРУГИЕ РОЛИКИ с крутыми рисунками и построениями:
1. Математика мироздания (feat. Борис Трушин): #205. Формула Эйлера для плоских граф...
2. 10-часовое занятие по стереометрии: 10-часовое ЗАНЯТИЕ по стереометрии!
3. Прокачиваем стереометрию: #153. ПРОКАЧАЙ СТЕРЕОМЕТРИЮ ЗА 3 МИНУТЫ!
#Математика #Геометрия #Научпоп
5 سال پیش
در تاریخ 1398/10/30 منتشر شده
است.
69,798
بـار بازدید شده