Wie addiere und subtrahiere ich komplexe Zahlen? | Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
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4 سال پیش
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Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung x²=-1 lösbar wird. Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl. Diese Zahl i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Komplexe Zahlen können in der Form a+b⋅i dargestellt werden, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist.
Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel), der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann.
Jede reelle Zahl kann als Punkt einer Zahlengerade abgebildet werden. Zur Darstellung von komplexen Zahlen ist eine Erweiterung auf eine zusätzliche Ebene notwendig - man spricht von komplexer Ebene oder Gauß´schen Ebenen. In dieser Ebene können komplexe Zahlen als Punkt oder Zeiger dargestellt werden.
Unter dem Betrag einer komplexen Zahl versteht man die Länge des Pfeiles in der Gauß`schen Zahlenebene. Der Betrag einer komplexen Zahl wird mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras bestimmt.
Die kartesische Binominalform der komplexen Zahlen beschreibt den Abstand zur reellen und imaginären Achse.
Die Polarform (trigonometrische & exponentielle Form) beschreibt die Entfernung zum Ursprung und den Winkel zur reellen Achse
Der Winkel wird dabei auch als Phase oder Argument bezeichnet.
Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der Gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird.
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Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung x²=-1 lösbar wird. Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl. Diese Zahl i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
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Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel), der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann.
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Unter dem Betrag einer komplexen Zahl versteht man die Länge des Pfeiles in der Gauß`schen Zahlenebene. Der Betrag einer komplexen Zahl wird mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras bestimmt.
Die kartesische Binominalform der komplexen Zahlen beschreibt den Abstand zur reellen und imaginären Achse.
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Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der Gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird.
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4 سال پیش
در تاریخ 1399/02/07 منتشر شده
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